1 Przypadek oglny Xm;n
Przez Xm;n bdziemy oznacza Cm+n wyposaone w iloczyn skalarny o syg-
naturze (m; n). Elementami Xm;n s pary (u 2 Cm; v 2 Cn), iloczyn skalarny
jest okrelony jako
â ã â ã
u
v
u0
h
;
i = «uyu0 + vyv0:
(1)
v0
Oparatory liniowe dziaajce w Xm;n zapisujemy jako macierze blokowe, dziaajce
blokowo:
â
ã â ã
â
ã
A B
u
Au + Bv
=
:
(2)
C D
v
Cu + Dv
Macierz A jest m Å m, macierz D jest n Å n; macierz B jest m Å n, macierz
C jest n Å n.
Wprowadmy macierz J zdeÑniowan jako
â
ã
Im
0
J =
:
(3)
0
In
Oznaczajc przez (; ) standardowy iloczyn skalarny
àâ ã â ãá
u
u0
;
= uyu0 + vyv0;
(4)
(5)
v
v0
mamy
< w; w0 >= «(w; J; w0); (w; w0 2 Xn;m):
Denoting by Æ the hermitian conjugate with respect to the scalar product
<; > we have:
â
ãÆ
â
ã
A B
C D
AÆ «CÆ
=
;
(6)
«BÆ DÆ
where AÆ; BÆ; CÆ; DÆ are ordinary hermitian conjugates (complex conjugate,
transpose).
We denote by U(m; n) the group` of unitary matrices in Xm;n. If U =
[
CA DB ] is in U(n; m), then UUÆ = UÆU = In+m; i.e.
â
ãÆ â
ã
â
ã â
ã
â
ã
A B
A B
A B
AÆ «CÆ
In
0
=
=
;
(7)
(8)
C D
C D
C D «BÆ DÆ
0 Im
or
â
ã â
ã
â
ã â
ã
â
ã
AÆ «CÆ A B
A B
AÆ «CÆ
In
0
=
=
;
«BÆ DÆ
C D
C D «BÆ DÆ
0 Im
1
which entails:
AÆA « CÆC = AAÆ « BBÆ = Im;
DÆD « BÆB = DDÆ « CCÆ = In;
(9)
(10)
(11)
(12)
AÆB « CÆD
= 0
; BDÆ « ACÆ
= 0:
From AÆA = I + CÆC and DÆD = I + BÆB it follows immediately that for
a unitary matrix A and D are ivertible. We denote by SU(m; n) the group
of unitary matrices with determinant 1: Notice that the following, easy to
derive formula holds:
àâ
ãá
A B
det
= det(A) det(D«CA«1B) = det(A«BD«1C) det(D): (13)
C D
1.1 Rozmaito n-wymiarowych podprzestrzeni dodat-
nich
Zbir wszystkich n-wymiarowych podprzestrzeni Xm;n tworzy tzw. rozmaito
Grassmanna, lub Grassmannian. Nas interesuje podzbir tej rozmaitoci Grass-
manna do ktrego nale te n-wymiarowe podprzestrzenie na ktrych iloczyn
skalarny <; > jest dodatnio okrelony. Jedna z takich podprzestrzeni jest
oczywista - to podprzestrze wektorw postaci [ v0 ] : Przypumy, e Z jest tak
podprzesztrzeni. Chcemy scharkteryzowa ogln posta jej wektorw.
Niech zatem [ uv ] 2 Z: Zauwamy, e dla niezerowego wektora z Z . v musi
by rne od 0, inaczej iloczyn skalarny na Z byby ujemnie okrelony. Dalej,
przy danym v, u jest jednosnacznie okreslone przez v. W istocie, gdyby [ uv ]
u0
i [ ] naleay do Z, to, poniewa Z jest podprzestrzeni liniow, rwnie ich rnica
v
naleaaby do Z, ta rnica miaaby zerowe v, std cay wektor musiaby by zerowy,
0
u(v)
zatem u = u. Zatem wektory z Z s postaci [
] : atwo zobaczy, e funkcja
u(v) musi by liniowa. Istnieje zatem jedyna nÅvm macierz Z taka, e u = Zv.
2
